Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Тригонометрические уравнения примеры с решениями 10. Методы решения тригонометрических уравнений |
При решении многих математических задач , особенно тех, которые встречаются до 10 класса, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу, и выполнить эти действия. Очевидно, что успех или неуспех в решении той или иной задачи зависит главным образом от того, насколько правильно определен тип решаемого уравнения, насколько правильно воспроизведена последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом необходимо владеть навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений. Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу. По внешнему виду уравнения порой бывает трудно определить его тип. А не зная типа уравнения, почти невозможно выбрать из нескольких десятков тригонометрических формул нужную. Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться: 1. привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»; Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений. I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям Схема решения Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты. Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам: cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ. sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z. tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z. ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z. Шаг 3. Найти неизвестную переменную. Пример. 2 cos(3x – π/4) = -√2.
Решение. 1) cos(3x – π/4) = -√2/2. 2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z; 3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z. 3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z; x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z; x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z. Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z. II. Замена переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение. Пример. 2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0. Решение. 1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0; 2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0. 2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1. 3) 2t 2 + 5t + 3 = 0; t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1. 4) sin (x/2) = 1. 5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z; x = π + 4πn, n Є Z. Ответ: x = π + 4πn, n Є Z. III. Метод понижения порядка уравнения Схема решения Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени: sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x); cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x); tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x). Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II. Пример. cos 2x + cos 2 x = 5/4. Решение. 1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4. 2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4; 3/2 · cos 2x = 3/4; 2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z; x = ±π/6 + πn, n Є Z. Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z. IV. Однородные уравнения Схема решения Шаг 1. Привести данное уравнение к виду a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени) или к виду б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени). Шаг 2. Разделить обе части уравнения на а) cos x ≠ 0; б) cos 2 x ≠ 0; и получить уравнение относительно tg x: а) a tg x + b = 0; б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0. Шаг 3. Решить уравнение известными способами. Пример. 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0. Решение. 1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0; 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0; sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0. 2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0. 3) Пусть tg x = t, тогда t 2 + 3t – 4 = 0; t = 1 или t = -4, значит tg x = 1 или tg x = -4. Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z. Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z. V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул Схема решения Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV. Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами. Пример. sin x + sin 2x + sin 3x = 0. Решение. 1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0; 2sin 2x · cos x + sin 2x = 0. 2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0; sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0; Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2. Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z. В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z. Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z. Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении элементов тригонометрии. Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом. Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения? сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Сбор и использование персональной информацииПод персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Раскрытие информации третьим лицамМы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения:
Защита персональной информацииМы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компанииДля того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ". Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции. sinх = аcos x = atg x = acot x = aЛюбое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 Используя формулы приведения получим: 2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0 Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение: 2y 2 – 3y + 1 + 0 Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2 Теперь идем в обратном порядке Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа: Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ? Перенесем все влево, чтобы справа остался 0: sin x + cos x – 1 = 0 Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения: sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0 Делаем разложение на множители: 2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0 2sin(x/2) * = 0 Получаем два уравнения Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом: а) переносят все его члены в левую часть; б) выносят все общие множители за скобки; в) приравнивают все множители и скобки к 0; г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени; д) решают полученное уравнение относительно tg. Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа: 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 Делим на cos x: tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение: y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3 Отсюда находим два решения исходного уравнения: x 2 = arctg 3 + k Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7 Переходим к x/2: 6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2) Пререносим все влево: 2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0 Делим на cos(x/2): tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0 Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c , где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное. Обе части уравнения разделим на : Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид: cos * sin x + sin * cos x = С или sin(x + ) = C Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет х = (-1) k * arcsin С - + k, где Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые. Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1 В этом уравнении коэффициенты: а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2 Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Сбор и использование персональной информацииПод персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Раскрытие информации третьим лицамМы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения:
Защита персональной информацииМы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компанииДля того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги