Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Линейные уравнения и неравенства с модулем. Решение неравенств с модулями |
Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль. Рассмотрим некоторые из них. 1) Решение неравенства с помощью геометрического свойства модуля. Напомню, что такое геометрическое свойство модуля: модуль числа x – это расстояние от начала координат до точки с координатой x. В ходе решения неравенств этим способом может возникнуть 2 случая: 1. |x| ≤ b, И неравенство с модулем очевидно сводится к системе двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми». 2. |x| ≥ b, тогда картинка решения выглядит так: И неравенство с модулем очевидно сводится к совокупности двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми». Пример 1. Решить неравенство |4 – |x|| ≥ 3. Решение. Данное неравенство равносильно следующей совокупности: U [-1;1] U Пример 2. Решить неравенство ||x+2| – 3| ≤ 2. Решение.
Данное неравенство равносильно следующей системе. {|x + 2| – 3 ≥ -2 Решим отдельно первое неравенство системы. Оно эквивалентно следующей совокупности: U [-1; 3]. 2) Решение неравенств, используя определение модуля. Напомню для начала определение модуля. |a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0. Например, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21. Пример 1. Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3. Решение. Используя определение модуля получим две системы: {x – 1 ≥ 0 {x – 1 < 0 Решая первую вторую системы в отдельности, получим: {x ≥ 1 {x < 1 Решением исходного неравенства будут все решения первой системы и все решения второй системы. Ответ: x € .
3) Решение неравенств методом возведения в квадрат. Пример 1. Решить неравенство |x 2 – 1| < | x 2 – x + 1|. Решение. Возведем обе части неравенства в квадрат. Замечу, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только в том случае, когда они обе положительные. В данном случае у нас и слева и справа стоят модули, поэтому мы можем это сделать. (|x 2 – 1|) 2 < (|x 2 – x + 1|) 2 . Теперь воспользуемся следующим свойством модуля: (|x|) 2 = x 2 . (x 2 – 1) 2 < (x 2 – x + 1) 2 , (x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2 < 0. (x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1) < 0, (x – 2)(2x 2 – x) < 0, x(x – 2)(2x – 1) < 0. Решаем методом интервалов. Ответ: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Решение неравенств методом замены переменных. Пример. Решить неравенство (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30. Решение. Заметим, что (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Тогда получим неравенство (|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30. Сделаем замену y = |2x + 3|. Перепишем наше неравенство с учетом замены. y 2 – y ≤ 30, y 2 – y – 30 ≤ 0. Разложим квадратный трехчлен, стоящий слева, на множители. y1 = (1 + 11) / 2, y2 = (1 – 11) / 2, (y – 6)(y + 5) ≤ 0. Решим методом интервалов и получим: Вернемся к замене: 5 ≤ |2x + 3| ≤ 6. Данное двойное неравенство равносильно системе неравенств: {|2x + 3| ≤ 6 Решим каждое из неравенств в отдельности. Первое равносильно системе {2x + 3 ≤ 6 Решим ее. {x ≤ 1.5 Второе неравенство очевидно выполняется для всех x, так как модуль по определению число положительное. Так как решение системы – это все x, которые удовлетворяют одновременно и первому и второму неравенству системы, то решением исходной системы будет решение ее первого двойного неравенства (ведь второе верно для всех x). Ответ: x € [-4,5; 1,5].
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное. Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа -6 тоже является 6. То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака. Обозначается так: |6|, |х |, |а | и т.д. (Подробнее - в разделе «Модуль числа»). Уравнения с модулем. Пример 1 . Решить уравнение |10 х - 5| = 15. Решение . В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 10х
- 5 = 15 Решаем: 10х
= 15 + 5 = 20 х
= 20: 10 х
= 2 Ответ : х 1 = 2, х 2 = -1. Пример 2 . Решить уравнение |2 х + 1| = х + 2. Решение . Поскольку модуль - число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно: х ≥ -2. Составляем два уравнения: 2х
+ 1 = х
+ 2 Решаем: 2х
+ 1 = х
+ 2 2х
- х
= 2 - 1 х
= 1 Оба числа больше -2. Значит, оба являются корнями уравнения. Ответ : х 1 = -1, х 2 = 1. Пример 3
. Решить уравнение
|х
+ 3| - 1 Решение . Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю - значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое - не просто освобождаемся от дроби, а преобрахуем ее так, чтобы получить модуль в чистом виде: |х + 3| - 1 = 4 · (х - 1), |х + 3| - 1 = 4х - 4, |х + 3| = 4х - 4 + 1, |х + 3| = 4х - 3. Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше. 4х - 3 ≥ 0 4х ≥ 3 х ≥ 3/4 Таким образом, у нас появилось второе условие: корень уравнения должен быть не меньше 3/4. В соответствии с правилом, составляем совокупность двух уравнений и решаем их: х
+ 3 = 4х
- 3 х
+ 3 = 4х
- 3 х
- 4х
= -3 - 3 х
= 2 Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения. У нас было два условия: корень уравнения не может быть равен 1, и он должен быть не меньше 3/4. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов - число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения. Ответ : х = 2. Неравенства с модулем. Пример 1 . Решить неравенство | х - 3| < 4 Решение . Правило модуля гласит: |а | = а , если а ≥ 0. |а | = -а , если а < 0. Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая: х - 3 ≥ 0 и х - 3 < 0. 1) При х
- 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля: 2) При х - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением: -(х - 3) < 4. Раскрыв скобки, получаем: -х + 3 < 4. Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств: х
- 3 ≥ 0 х
- 3 < 0 Решим их: х
≥ 3 х
< 3 Итак, у нас в ответе объединение двух множеств: 3 ≤ х < 7 U -1 < х < 3. Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это -1 и 7. При этом х
больше -1, но меньше 7. Ответ : -1 < х < 7. Или: х ∈ (-1; 7). Дополнения . 1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства - графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1). Выражение |х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа - к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их. При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ: 1 < х < 7. 2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде: 4 < х - 3 < 4. Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число -4 являются границами решения неравенства. 4 + 3 < х < 4 + 3 1 < х < 7. Пример 2 . Решить неравенство | х - 2| ≥ 5 Решение . Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны -3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ. Ответ : -3 ≥ х ≥ 7. Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком: 5 ≥ х - 2 ≥ 5 5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2 Ответ тот же: -3 ≥ х ≥ 7. Или: х ∈ [-3; 7] Пример решен. Пример 3 . Решить неравенство 6 х 2 - | х | - 2 ≤ 0 Решение . Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля: 6х 2 - х - 2 ≤ 0. Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля: 6х 2 - (-х ) - 2 ≤ 0. Раскрываем скобки: 6х 2 + х - 2 ≤ 0. Таким образом, мы получили две системы уравнений: 6х
2 - х
- 2 ≤ 0 6х
2 + х
- 2 ≤ 0 Надо решить неравенства в системах - а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю. Начнем с первого: 6х 2 - х - 2 = 0. Как решается квадратное уравнение - см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ: х 1 = -1/2, х 2 = 2/3. Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от -1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х
≥ 0: Теперь решим второе квадратное уравнение: 6х 2 + х - 2 = 0. Его корни: х 1 = -2/3, х 2 = 1/2. Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2. Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от -2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа. Ответ : -2/3 ≤ х ≤ 2/3. Или: х ∈ [-2/3; 2/3]. Математика является символом мудрости науки , образцом научной строгости и простоты , эталоном совершенства и красоты в науке. Российский философ, профессор А.В. Волошинов
Неравенства с модулем Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются неравенства , содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких неравенств необходимо хорошо знать свойства модуля и иметь навыки их использования. Основные понятия и свойства Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом: К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения: И . Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени. Кроме того , если , где , то и Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений и неравенств с модулями , формулируются посредством следующих теорем: Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство . Теорема 2. Равенство равносильно неравенству . Теорема 3. Равенство равносильно неравенству . Наиболее распространенными в школьной математике неравенствами , содержащие неизвестные переменные под знаком модуля , являются неравенства вида и , где некоторая положительная константа. Теорема 4. Неравенство равносильно двойному неравенству , а решение неравенства сводится к решению совокупности неравенств и . Данная теорема является частным случаем теорем 6 и 7. Более сложными неравенствами , содержащие модуль, являются неравенства вида , и . Методы решения таких неравенств можно сформулировать посредством следующих трех теорем. Теорема 5. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств И (1) Доказательство. Так как , то Отсюда вытекает справедливость (1). Теорема 6. Неравенство равносильно системе неравенств Доказательство. Так как , то из неравенства следует , что . При таком условии неравенство и при этом вторая система неравенств (1) окажется несовместной. Теорема доказана. Теорема 7. Неравенство равносильно совокупности одного неравенства и двух систем неравенств И (3) Доказательство. Поскольку , то неравенство всегда выполняется , если . Пусть , тогда неравенство будет равносильно неравенству , из которого вытекает совокупность двух неравенств и . Теорема доказана. Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Неравенства , содержащие переменные под знаком модуля». Решение неравенств с модулем Наиболее простым методом решения неравенств с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. Поэтому учащиеся должны знать и другие (более эффективные) методы и приемы решения таких неравенств. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье. Пример 1. Решить неравенство . (4) Решение. Неравенство (4) будем решать «классическим» методом – методом раскрытия модулей. С этой целью разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая. 1. Если , то , , , и неравенство (4) принимает вид или . Так как здесь рассматривается случай , то является решением неравенства (4). 2. Если , то из неравенства (4) получаем или . Так как пересечение интервалов и является пустым , то на рассматриваемом интервале решений неравенства (4) нет. 3. Если , то неравенство (4) принимает вид или . Очевидно , что также является решением неравенства (4). Ответ: , . Пример 2. Решить неравенство . Решение. Положим , что . Так как , то заданное неравенство принимает вид или . Поскольку , то и отсюда следует или . Однако , поэтому или . Пример 3. Решить неравенство . (5) Решение. Так как , то неравенство (5) равносильно неравенствам или . Отсюда , согласно теореме 4 , имеем совокупность неравенств и . Ответ: , . Пример 4. Решить неравенство . (6) Решение. Обозначим . Тогда из неравенства (6) получаем неравенства , , или . Отсюда , используя метод интервалов , получаем . Так как , то здесь имеем систему неравенств Решением первого неравенства системы (7) является объединение двух интервалов и , а решением второго неравенства – двойное неравенство . Отсюда следует , что решение системы неравенств (7) представляет собой объединение двух интервалов и . Ответ: , Пример 5. Решить неравенство . (8) Решение. Преобразуем неравенство (8) следующим образом: Или . Применяя метод интервалов , получаем решение неравенства (8). Ответ: . Примечание. Если в условии теоремы 5 положить и , то получим . Пример 6. Решить неравенство . (9) Решение. Из неравенства (9) следует . Преобразуем неравенство (9) следующим образом: Или Так как , то или . Ответ: . Пример 7. Решить неравенство . (10) Решение. Так как и , то или . В этой связи и неравенство (10) принимает вид Или . (11) Отсюда следует, что или . Так как , то и из неравенства (11) вытекает или . Ответ: . Примечание. Если к левой части неравенства (10) применить теорему 1 , то получим . Отсюда и из неравенства (10) следует , что или . Так как , то неравенство (10) принимает вид или . Пример 8. Решить неравенство . (12) Решение. Так как , то и из неравенства (12) следует или . Однако , поэтому или . Отсюда получаем или . Ответ: . Пример 9. Решить неравенство . (13) Решение. Согласно теореме 7 решением неравенства (13) являются или . Пусть теперь . В таком случае и неравенство (13) принимает вид или . Если объединить интервалы и , то получим решение неравенства (13) вида . Пример 10. Решить неравенство . (14) Решение. Перепишем неравенство (14) в равносильном виде: . Если к левой части данного неравенства применить теорему 1, то получим неравенство . Отсюда и из теоремы 1 следует , что неравенство (14) выполняется для любых значений . Ответ: любое число. Пример 11. Решить неравенство . (15) Решение. Применяя теорему 1 к левой части неравенства (15) , получаем . Отсюда и из неравенства (15) вытекает уравнение , которое имеет вид . Согласно теореме 3 , уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем . Пример 12. Решить неравенство . (16) Решение . Из неравенства (16), согласно теореме 4, получаем систему неравенств При решении неравенства воспользуемся теоремой 6 и получим систему неравенств из которой следует . Рассмотрим неравенство . Согласно теореме 7 , получаем совокупность неравенств и . Второе неравенство совокупности справедливо для любого действительного . Следовательно , решением неравенства (16) являются . Пример 13. Решить неравенство . (17) Решение. Согласно теореме 1 можно записать (18) Принимая во внимание неравенство (17), делаем вывод о том, что оба неравенства (18) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений По теореме 3 данная система уравнений равносильна системе неравенств или Пример 14. Решить неравенство . (19) Решение. Так как , то . Умножим обе части неравенства (19) на выражение , которое для любых значений принимает только положительные значения. Тогда получим неравенство, которое равносильно неравенству (19), вида Отсюда получаем или , где . Так как и , то решением неравенства (19) являются и . Ответ: , . Для более глубокого изучения методов решения неравенств с модулем можно посоветовать обратиться к учебным пособиям , приведенных в списке рекомендованной литературы. 1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с. 2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: методы решения и доказательства неравенств. – М.: Ленанд / URSS , 2018. – 264 с. 3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с. Остались вопросы? Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь . сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги