Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Однородное дифференциальное уравнение 1 порядка. Однородные дифференциальные уравнения |
В настоящее время по базовому уровню изучения математики на изучение математики в старших классах предусмотрено всего 4 часа (2 часа алгебры, 2 часа геометрии). В сельских малокомплектных школах стараются увеличить количество часов за счет школьного компонента. Но если класс гуманитарный, то школьный компонент добавляется на изучение предметов гуманитарного направления. В маленьком селе зачастую школьнику выбирать не приходится, он учится в том классе; какой имеется в школе. Становиться же юристом, историком или журналистом (бывают такие случаи) не собирается, а хочет стать инженером или экономистом, поэтому ЕГЭ по математике должен сдать на высокие балы. При таких обстоятельствах, учителю математики приходится находить свой выход из создавшейся ситуации, к тому же по учебнику Колмогорова изучение темы «однородные уравнения» не предусмотрено. В прошлые годы для введения данной темы и закрепления мне требовалось два сдвоенных урока. К сожалению, проверка образовательного надзора у нас запретила сдвоенные уроки в школе, поэтому количество упражнений пришлось сократить до 45 минут, и соответственно уровень сложности упражнений понизить до среднего. Предлагаю вашему вниманию план-конспект урока по данной теме в 10 классе с базовым уровнем изучения математики в сельской мало комплектной школе. Тип урока : традиционный. Цель : научиться решать типичные однородные уравнения. Задачи : Познавательные : Развивающие : Воспитательные :
Ход урокаI. Организационный этап (3 мин.)II. Проверка знаний, необходимых для усвоения нового материала (10 мин.)Выявить основные затруднения с дальнейшим разбором выполненных заданий. Ребята выполняют по выбору 3 варианта. Задания, дифференцированные по степени сложности и по уровню подготовленности ребят, с последующим объяснением у доски. 1 уровень . Решите уравнения:
2 уровень . Решите простейшие тригонометрические уравнения и биквадратное уравнение: ответы:
3 уровень. Решение уравнений методом замены переменных:
III. Сообщение темы, установка целей и задач.Тема: Однородные уравнения Цель : научиться решать типичные однородные уравнения Задачи : Познавательные :
Развивающие :
IV. Усвоение новых знаний (15 мин.)1. Лекционный момент. Определение 1 (Записываем в тетрадь). Уравнение вида P(x;y)=0 называется однородным, если P(x;y) однородный многочлен. Многочлен от двух переменных х и у называют однородным, если степень каждого его члена равна одному и тому же числу к. Определение 2 (Просто ознакомление). Уравнения вида называют однородным уравнением степени n относительно u(x) и v(x). Поделив обе части уравнения на (v(x))n, можно с помощью замены получить уравнение
2. Примеры однородных уравнений: Поясните: почему они однородные, приведите свои примеры таких уравнений. 3. Задание на определение однородных уравнений: Среди заданных уравнений определить однородные уравнения и объяснить свой выбор: После того как объяснили свой выбор на одном из примеров показать способ решения однородного уравнения: 4. Решить самостоятельно: Ответ:
Разделим обе части уравнения на cos x, получим 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ + 5. Показать решение примера из брошюры «П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2006 стр.22». Как один из возможных примеров ЕГЭ уровня С. V . Решить для закрепления по учебнику Башмаковастр 183 № 59 (1,5) или по учебнику под редакцией Колмогорова: стр81 №169 (а, в) ответы: VI . Проверочная, самостоятельная работа (7 мин.)
Ответы к заданиям: 1 вариант а) Ответ: arctg2+πn,n € Z; б) Ответ: ±π/2+ 3πn,n € Z; в) 2 вариант а) Ответ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Ответ: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2) VII . Домашнее задание№169 по Колмогорову, №59 по Башмакову. Кроме этого, решить систему уравнений: Ответ: arctg(-1±√3) +πn , Использованная литература:
Функция f(x,y) называется однородной функцией своих аргументов измерения n , если справедливо тождество f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y) . Например, функция f(x,y)=x^2+y^2-xy есть однородная функция второго измерения, так как F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y). При n=0 имеем функцию нулевого измерения. Например, \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} есть однородная функция нулевого измерения, так как {f(tx,ty)=\frac{(tx)^2-(ty)^2}{(tx)^2+(ty)^2}=\frac{t^2(x^2-y^2)}{t^2(x^2+y^2)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=f(x,y).} Дифференциальное уравнение вида \frac{dy}{dx}=f(x,y) называется однородным относительно x и y , если f(x,y) есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде \frac{dy}{dx}=\varphi\!\left(\frac{y}{x}\right). Вводя новую искомую функцию u=\frac{y}{x} , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными: X\frac{du}{dx}=\varphi(u)-u. Если u=u_0 есть корень уравнения \varphi(u)-u=0 , то решение однородного уравнения будет u=u_0 или y=u_0x (прямая, проходящая через начало координат). Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку y=ux . Пример 1. Решить однородное уравнение xy"=\sqrt{x^2-y^2}+y . Решение. Запишем уравнение в виде y"=\sqrt{1-{\left(\frac{y}{x}\right)\!}^2}+\frac{y}{x} так что данное уравнение оказывается однородным относительно x и y . Положим u=\frac{y}{x} , или y=ux . Тогда y"=xu"+u . Подставляя в уравнение выражения для y и y" , получаем x\frac{du}{dx}=\sqrt{1-u^2} . Разделяем переменные: \frac{du}{1-u^2}=\frac{dx}{x} . Отсюда интегрированием находим \arcsin{u}=\ln|x|+\ln{C_1}~(C_1>0) , или \arcsin{u}=\ln{C_1|x|} . Так как C_1|x|=\pm{C_1x} , то, обозначая \pm{C_1}=C , получаем \arcsin{u}=\ln{Cx} , где |\ln{Cx}|\leqslant\frac{\pi}{2} или e^{-\pi/2}\leqslant{Cx}\leqslant{e^{\pi/2}} . Заменяя u на \frac{y}{x} , будем иметь общий интеграл \arcsin{y}{x}=\ln{Cx} . Отсюда общее решение: y=x\sin\ln{Cx} . При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение x\sqrt{1-u^2} , поэтому могли потерять решение, которые обращают в ноль это произведение. Положим теперь x=0 и \sqrt{1-u^2}=0 . Но x\ne0 в силу подстановки u=\frac{y}{x} , а из соотношения \sqrt{1-u^2}=0 получаем, что 1-\frac{y^2}{x^2}=0 , откуда y=\pm{x} . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции y=-x и y=x также являются решениями данного уравнения. Пример 2. Рассмотреть семейство интегральных кривых C_\alpha однородного уравнения y"=\varphi\!\left(\frac{y}{x}\right) . Показать, что касательные в соответственных точках к кривым, определяемым этим однородным дифференциальным уравнением, параллельны между собой. Примечание: Будем называть соответственными те точки на кривых C_\alpha , которые лежат на одном луче, выходящем из начала координат. Решение. По определению соответственных точек имеем \frac{y}{x}=\frac{y_1}{x_1} , так что в силу самого уравнения y"=y"_1 , где y" и y"_1 - угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым C_\alpha и C_{\alpha_1} , в точках M и M_1 соответственно (рис. 12). Уравнения, приводящиеся к однороднымА. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида \frac{dy}{dx}=f\!\left(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\right). где a,b,c,a_1,b_1,c_1 - постоянные, а f(u) - непрерывная функция своего аргумента u . Если c=c_1=0 , то уравнение (3) является однородным и оно интегрируется, как указано выше. Если хотя бы одно из чисел c,c_1 отлично от нуля, то следует различать два случая. 1) Определитель \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a_1&b_1\end{vmatrix}\ne0 . Вводя новые переменные \xi и \eta по формулам x=\xi+h,~y=\eta+k , где h и k - пока неопределенные постоянные, приведем уравнение (3) к виду \frac{d\eta}{d\xi}=f\!\left(\frac{a\xi+b\eta+ah+bk+c}{a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1}\right). Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений \begin{cases}ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end{cases}~(\Delta\ne0), получаем однородное уравнение \frac{d\eta}{d\xi}=f\!\left(\frac{a\xi+b\eta}{a_1\xi+b_1\eta}\right) . Найдя его общий интеграл и заменив в нем \xi на x-h , a \eta на y-k , получаем общий интеграл уравнения (3). 2) Определитель \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a_1&b_1\end{vmatrix}=0 . Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше метод неприменим; в этом случае \frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b}=\lambda , и, следовательно, уравнение (3) имеет вид \frac{dy}{dx}=f\!\left(\frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+c_1}\right) . Подстановка z=ax+by приводит его к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 3. Решить уравнение (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0 . Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений \begin{cases}x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end{cases} Определитель этой системы \Delta=\begin{vmatrix}\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end{vmatrix}=-2\ne0 . Система имеет единственное решение x_0=-1,~y_0=3 . Делаем замену x=\xi-1,~y=\eta+3 . Тогда уравнение (5) примет вид (\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0. Это уравнение является однородным уравнением. Полагая \eta=u\xi , получаем (\xi+\xi{u})\,d\xi+(\xi-\xi{u})(\xi\,du+u\,d\xi)=0 , откуда (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0 . Разделяем переменные \frac{d\xi}{\xi}+\frac{1-u}{1+2u-u^2}\,du=0. Интегрируя, найдем \ln|\xi|+\frac{1}{2}\ln|1+2u-u^2|=\ln{C} или \xi^2(1+2u-u^2)=C . Возвращаемся к переменным x,~y : (x+1)^2\left=C_1 или x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14). Пример 4. Решить уравнение (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0 . Решение. Система линейных алгебраических уравнений \begin{cases}x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end{cases} несовместна. В этом случае метод, примененный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку x+y=z , dy=dz-dx . Уравнение примет вид (2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0. Разделяя переменные, получаем Dx-\frac{2z-1}{z-2}\,dz=0 отсюда x-2z-3\ln|z-2|=C. Возвращаясь к переменным x,~y , получаем общий интеграл данного уравнения X+2y+3\ln|x+y-2|=C. Б. Иногда уравнение можно привести к однородному заменой переменного y=z^\alpha . Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если переменному x приписать измерение 1, переменному y - измерение \alpha и производной \frac{dy}{dx} - измерение \alpha-1 . Пример 5. Решить уравнение (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0 . Решение. Делаем подстановку y=z^\alpha,~dy=\alpha{z^{\alpha-1}}\,dz , где \alpha пока произвольное число, которое мы выберем позже. Подставляя в уравнение выражения для y и dy , получим \alpha(x^2x^{2\alpha}-1)z^{\alpha-1}\,dz+2xz^{3\alpha}\,dx=0 или \alpha(x^2z^{3\alpha-1}-z^{\alpha-1})\,dz+2xz^{3\alpha}\,dx=0, Заметим, что x^2z^{3\alpha-1} имеет измерение 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^{\alpha-1} имеет измерение \alpha-1 , xz^{3\alpha} имеет измерение 1+3\alpha . Полученное уравнение будет однородным, если измерения всех членов одинаковы, т.е. если выполняется условие 3\alpha+1=\alpha-1 , или \alpha-1 . Положим y=\frac{1}{z} ; исходное уравнение принимает вид \left(\frac{1}{z^2}-\frac{x^2}{z^4}\right)dz+\frac{2x}{z^3}\,dx=0 или (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0. Положим теперь z=ux,~dz=u\,dx+x\,du . Тогда это уравнение примет вид (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0 , откуда u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0 . Разделяем переменные в этом уравнении \frac{dx}{x}+\frac{u^2-1}{u^3+u}\,du=0 . Интегрируя, найдем \ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln{C} или \frac{x(u^2+1)}{u}=C. Заменяя u через \frac{1}{xy} , получаем общий интеграл данного уравнения 1+x^2y^2=Cy. Уравнение имеет еще очевидное решение y=0 , которое получается из общего интеграла при C\to\infty , если интеграл записать в виде y=\frac{1+x^2y^2}{C} , а затем перейти к пределу при C\to\infty . Таким образом, функция y=0 является частным решением исходного уравнения. В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX! ОднородныеНа данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка . Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными. В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере. Пример 1 Решение:
В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя . Возникает вопрос – как же решить этот диффур? Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным ? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так: В исходное уравнение: вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем : Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным . Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: и обе части делим на эту самую лямбду: В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение. Вывод: Данное уравнение является однородным Как решить однородное дифференциальное уравнение?У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены. Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»: Почти всегда пишут коротко: Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то: Подставляем и в исходное уравнение : Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, . После подстановки проводим максимальные упрощения: Поскольку – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: . После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену
, она тоже стандартна и единственна: В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла . Ответ: общий интеграл: Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла? Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла: Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка , но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!) : И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде: Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл, то есть найти производную от функции, заданной неявно
: Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте! Пример 2 Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. Ответ записать в виде Это пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий. Проверку проведёте на досуге, т.к. здесь она достаточно сложнА, и я даже не стал её приводить, а то вы больше не придёте к такому маньяку:) А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы, Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель (не константу) в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения! И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях . В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т.к. не удовлетворяет исходному диффуру. Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при . И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто;) «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью. Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примере 1 был «сброс» икса, однако не может быть решением уравнения . А вот в Примере 2 мы разделили на , но это тоже «сошло с рук»: поскольку , то решения потеряться не могли, их тут попросту нет. Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они: Пример 3 Решить дифференциальное уравнение Не правда ли простой пример? ;-) Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные . Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие! После проверки на «разделяемость» проводим замену и максимально упрощаем уравнение: Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»: И вот здесь СТОП. При делении на мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции: И эти решения мы рискуем потерять . Кроме того, в знаменателе оказался «икс», однако замена подразумевает, что он не равен нулю. Запомните это факт. Но! Обязательно проверяем , является ли решением ИСХОДНОГО дифференциального уравнения. Нет, не является. Берём всё это на заметку и продолжаем: Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы: Умножим все слагаемые на : Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе : общий интеграл: Проверка
. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:) Для самостоятельного решения: Пример 4 Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение Общий интеграл проверить дифференцированием. Полное решение и ответ в конце урока. Рассмотрим пару примеров, когда однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами. Пример 5 Решить дифференциальное уравнение Это очень интересный пример, прямо целый триллер! Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется) . Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: … ». Если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой: Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим все члены уравнения на : И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование!
Нулевому дифференциалу соответствует – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим и в исходное уравнение: Данное равенство справедливо, если , то есть, при делении на мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли – так как оно уже не удовлетворяет полученному уравнению . Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение , то о корне речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили». Продолжаем решение стандартной заменой : После подстановки максимально упрощаем уравнение: Разделяем переменные: И вот здесь снова СТОП: при делении на мы рискуем потерять две функции. Так как
, то это функции: Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную : И при делении на мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти Берём это на заметку и интегрируем обе части: Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата , но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов : Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Находим интегралы: Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить
: Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т.к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу. Ответ: общий интеграл: . Ещё решения: Здесь не так трудно выразить общее решение: Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную: Следующий диффур – самостоятельно: Пример 6 Решить дифференциальное уравнение Полное решение и ответ в конце урока. Попробуйте заодно для тренировки и здесь выразить общее решение. В заключительной части урока рассмотрим еще пару характерных задач по теме: Пример 7 Решить дифференциальное уравнение Решение:
Идём проторенной дорогой. Данное уравнение является однородным, проведем замену : С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители : , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:
Ответ: общий интеграл: Пример 8 Решить дифференциальное уравнение Это пример для самостоятельного решения. Итак :При неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно) , не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то или деление на что-то. Так, например, при делении на нужно проверить, являются ли функции решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на необходимость в такой проверке уже отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль. Вот ещё одна опасная ситуация: Здесь, избавляясь от , следует проверить, не является ли решением ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и сокращая на них, мы теряем функции , которые могут оказаться решениями. С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении можно не беспокоиться о функции , так как она «заявлена» в знаменателе. Перечисленные тонкости не теряют актуальность, даже если в задаче требуется найти только частное решение. Существует пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно требуемое частное решение. Правда задача Коши в практических заданиях с однородными уравнениями запрашивается довольно редко. Тем не менее, такие примеры есть в статье Уравнения сводящиеся к однородным , которую я рекомендую изучить «по горячим следам» чтобы закрепить свои навыки решения. Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, потому что на ближайших уроках (см. ниже) ещё успею вас замучить я хочу вас видеть свежими и оптимистичными! Успешного продвижения! Решения и ответы: Пример 2: Решение:
проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо
подставим , а вместо
подставим : |
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги