Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Как решать по формуле крамера примеры. Метод крамера решения систем линейных уравнений |
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения. Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение. Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта). Определители получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами: ; . Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка. Пример 1. Решить систему линейных уравнений: Согласно теореме Крамера имеем: Итак, решение системы (2): онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера. Три случая при решении систем линейных уравненийКак явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая: Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение (система совместна и определённа) Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений (система совместна и неопределённа) ** , т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны. Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет (система несовместна) Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой . Примеры решения систем линейных уравнений методом КрамераПусть дана система . На основании теоремы Крамера
…………. где определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами: Пример 2. . Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители По формулам Крамера находим:
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера. Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример. Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера: . Решение. Находим определитель системы: Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных По формулам Крамера находим: Итак, решение системы - (2; -1; 1). Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера. К началу страницыПродолжаем решать системы методом Крамера вместеКак уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером. Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера: Решение. Находим определитель системы: Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений. Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера. В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных - буквы. За примерами далеко ходить не надо. Следующий пример - на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число. Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера: Решение. Находим определитель системы: Находим определители при неизвестных 2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы). 3. Метод Гаусса решения систем уравнений. Метод Крамера.Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ). Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными. Относительно переменных х
и у
.
Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец: Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще. Пример 2 (бесконечное количество решений): Решить систему уравнений: Пример 3 (решений нет, система несовместна): Решить систему уравнений: Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений. Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым. Теорема 1 Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$ В чем заключается метод КрамераСуть метода Крамера в следующем:
Приёмы для вычисления определителя матрицыДля вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:
Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера
Решение систем уравнений методом КрамераПрименим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами: $\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$ Отобразим её в расширенной форме для удобства: $A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$ Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы: $D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$ Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов: $D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$ $D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$ Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$: $x_1 = \frac {D_1}{D}$ $x_2 = \frac {D_2}{D}$ Пример 1 Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми. Решите систему уравнений: $\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end{cases}$ Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом: $D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$ А теперь три других детерминанта: $D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296$ $D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$ $D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60$ Найдём искомые величины: $x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$ $x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = - 1 \frac {11} {16}$ $x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$ Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е. (2.4) если 0. Здесь Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными . Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера: Решение . Находим определитель основной матрицы системы Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя: Проверка: Следовательно, решение найдено правильно. Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам (2.5) где – определитель основной матрицы , i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов . Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений. Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков. 2.4. Определители n-го порядкаДополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij . Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя Получаем Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу . Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения: (2.6) Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде: т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры. Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой. 2.5. Основные свойства определителейРазлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей. Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы : . Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот. Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов). Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю. Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя . Например, Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю . Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число . Например, Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц: |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги