Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения. Видеоурок «Рациональные уравнения |
§ 1 Целое и дробное рациональные уравнение В этом уроке разберем такие понятия, как рациональное уравнение, рациональное выражение, целое выражение, дробное выражение. Рассмотрим решение рациональных уравнений. Рациональным уравнением называют уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. Рациональные выражения бывают: Дробные. Целое выражение составлено из чисел, переменных, целых степеней с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Например: В дробных выражениях есть деление на переменную или выражение с переменной. Например: Дробное выражение не при всех значениях входящих в него переменных имеет смысл. Например, выражение при х = -9 не имеет смысла, так как при х = -9 знаменатель обращается в нуль. Значит, рациональное уравнение может быть целым и дробным. Целое рациональное уравнение - это рациональное уравнение, в котором левая и правая части - целые выражения. Например: Дробное рациональное уравнение - это рациональное уравнение, в котором или левая, или правая части - дробные выражения. Например: § 2 Решение целого рационального уравнения Рассмотрим решение целого рационального уравнения. Например: Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него дробей. Для этого: 1. найдем общий знаменатель для знаменателей 2, 3, 6. Он равен 6; 2. найдем дополнительный множитель для каждой дроби. Для этого общий знаменатель 6 делим на каждый знаменатель дополнительный множитель для дроби дополнительный множитель для дроби 3. умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители. Таким образом, получим уравнение которое равносильно данному уравнению Слева раскроем скобки, правую часть перенесем налево, изменив знак слагаемого при переносе на противоположный. Приведем подобные члены многочлена и получим Видим, что уравнение линейное. Решив его, найдем, что х = 0,5. § 3 Решение дробного рационального уравнения Рассмотрим решение дробного рационального уравнения. Например: 1.Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него рациональных дробей. Найдем общий знаменатель для знаменателей х + 7 и х - 1. Он равен их произведению (х + 7)(х - 1). 2.Найдем дополнительный множитель для каждой рациональной дроби. Для этого общий знаменатель (х + 7)(х - 1) делим на каждый знаменатель. Дополнительный множитель для дроби равен х - 1, дополнительный множитель для дроби равен х+7. 3.Умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители. Получим уравнение (2х - 1)(х - 1) = (3х + 4)(х + 7), которое равносильно данному уравнению 4.Слева и справа умножим двучлен на двучлен и получим следующее уравнение 5.Правую часть перенесем налево, изменив знак каждого слагаемого при переносе на противоположный: 6.Приведем подобные члены многочлена: 7.Можно обе части разделить на -1. Получим квадратное уравнение: 8.Решив его, найдем корни Так как в уравнении левая и правая части - дробные выражения, а в дробных выражениях при некоторых значениях переменных знаменатель может обратиться в нуль, то необходимо проверить, не обращается ли в нуль при найденных х1 и х2 общий знаменатель. При х = -27 общий знаменатель (х + 7)(х - 1) не обращается в нуль, при х = -1 общий знаменатель также не равен нулю. Следовательно, оба корня -27 и -1 являются корнями уравнения. При решении дробного рационального уравнения лучше сразу указать область допустимых значений. Исключить те значения, при которых общий знаменатель обращается в нуль. Рассмотрим еще один пример решения дробного рационального уравнения. Например, решим уравнение Знаменатель дроби правой части уравнения разложим на множители Получим уравнение Найдем общий знаменатель для знаменателей (х - 5), х, х(х - 5). Им будет выражение х(х - 5). теперь найдем область допустимых значений уравнения Для этого общий знаменатель приравняем к нулю х(х - 5) = 0. Получим уравнение, решив которое, найдем, что при х = 0 или при х = 5 общий знаменатель обращается в нуль. Значит, х = 0 или х = 5 не могут быть корнями нашего уравнения. Теперь можно найти дополнительные множители. Дополнительным множителем для рациональной дроби дополнительным множителем для дроби будет (х - 5), а дополнительный множитель дроби Числители умножим на соответствующие дополнительные множители. Получим уравнение х(х - 3) + 1(х - 5) = 1(х + 5). Раскроем скобки слева и справа, х2 - 3х + х - 5 = х + 5. Перенесем слагаемые справа налево, изменив знак переносимых слагаемых: Х2 - 3х + х - 5 - х - 5 = 0 И после приведения подобных членов получим квадратное уравнение х2 - 3х - 10 = 0. Решив его, найдем корни х1 = -2; х2 = 5. Но мы уже выяснили, что при х = 5 общий знаменатель х(х - 5) обращается в нуль. Следовательно, корнем нашего уравнения будет х = -2. § 4 Краткие итоги урока Важно запомнить: При решении дробных рациональных уравнений надо поступить следующим образом: 1.Найти общий знаменатель дробей входящих в уравнение. При этом если знаменатели дробей можно разложить на множители, то разложить их на множители и затем найти общий знаменатель. 2.Умножить обе части уравнения на общий знаменатель: найти дополнительные множители, умножить числители на дополнительные множители. 3.Решить получившееся целое уравнение. 4.Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. Список использованной литературы:
Презентация и урок на тему: "Рациональные уравнения. Алгоритм и примеры решения рациональных уравнений"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Знакомство с иррациональными уравнениямиРебята, мы научились решать квадратные уравнения. Но математика только ими не ограничивается. Сегодня мы научимся решать рациональные уравнения. Понятие рациональных уравнений во многом схоже с понятием рациональных чисел. Только помимо чисел теперь у нас введена некоторая переменная $х$. И таким образом мы получаем выражение, в котором присутствуют операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.Пусть $r(x)$ – это рациональное выражение
. Такое выражение может представлять из себя простой многочлен от переменной $х$ или отношение многочленов (вводится операция деления, как для рациональных чисел). Рассмотрим примеры решения рациональных уравнений.Пример 1.Решить уравнение: $\frac{5x-3}{x-3}=\frac{2x-3}{x}$. Решение. Дробь равна нулю, тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Тогда отдельно приравняем числитель к нулю и найдем корни числителя. Если вдруг, один из корней числителя совпал с корнем знаменателя, то его следует исключить. Такие корни называются посторонними! Алгоритм решения рациональных уравнений:1. Все выражения, содержащиеся в уравнении, перенести в левую сторону от знака равно.2. Преобразовать эту часть уравнения к алгебраической дроби: $\frac{p(x)}{q(x)}=0$. 3. Приравнять полученный числитель к нулю, то есть решить уравнение $p(x)=0$. 4. Приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Если корни знаменателя совпали с корнями числителя, то их следует исключить из ответа. Пример 2. Решение. Решать рациональные уравнения удобно с помощью метода замены переменных. Давайте это продемонстрируем. Пример 3. Решение. Пример 4. Пример 5. Решение. Задачи для самостоятельного решенияРешить уравнения:1. $\frac{3x+2}{x}=\frac{2x+3}{x+2}$. 2. $\frac{5x}{x+2}-\frac{20}{x^2+2x}=\frac{4}{x}$. Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Сбор и использование персональной информацииПод персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Раскрытие информации третьим лицамМы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения:
Защита персональной информацииМы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компанииДля того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. Цели урока: Обучающая:
Развивающая:
Воспитывающая:
Тип урока : урок – объяснение нового материала. Ход урока 1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему? Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений». 2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом. А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
3. Объяснение нового материала. Решить в тетрадях и на доске уравнение №2. Ответ : 10. Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5). (х-2)(х-4) = (х+2)(х+3) х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6 х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8 Решить в тетрадях и на доске уравнение №4. Ответ : 1,5. Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6). х 2 -7х+12 = 0 D=1›0, х 1 =3, х 2 =4. Ответ : 3;4. Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения? До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.
При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю. х 2 -3х-10=0 , D=49 , х 1 =5 , х 2 =-2. Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень. Если х=-2, то х(х-5)≠0. Ответ : -2. Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:
Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель). 4. Первичное осмысление нового материала. Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в,и); № 601(а,д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске. б) 2 – посторонний корень. Ответ:3. в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5. а) Ответ: -12,5. ж) Ответ: 1;1,5. 5. Постановка домашнего задания.
6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме. Работа выполняется на листочках. Пример задания: А) Какие из уравнений являются дробными рациональными? Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ . В) Является ли число -3 корнем уравнения №6? Г) Решить уравнение №7. Критерии оценивания задания:
7. Рефлексия. На листочках с самостоятельной работой поставьте:
8. Подведение итогов урока. Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания. Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений? Всем спасибо, урок окончен. Решение дробно-рациональных уравнений Справочное пособие Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями. (Напомним: рациональными выражениями называют целые и дробные выражения без радикалов, включающие действия сложения, вычитания, умножения или деления - например: 6x; (m – n)2; x/3y и т.п.) Дробно-рациональные уравнения, как правило, приводятся к виду: Где P (x ) и Q (x ) – многочлены. Для решения подобных уравнений умножить обе части уравнения на Q(x), что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, при решении дробно-рациональных уравнений необходима проверка найденных корней. Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную. Примеры целого рационального уравнения: 5x – 10 = 3(10 – x) 3x Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным. Пример дробного рационального уравнения: 15 Дробные рациональные уравнения обычно решаются следующим образом: 1) находят общий знаменатель дробей и умножают на него обе части уравнения; 2) решают получившееся целое уравнение; 3) исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей. Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений. Пример 1. Решим целое уравнение x – 1 2x 5x Решение: Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному: 3(x – 1) + 4x 5х Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно опустить. Тогда у нас получится более простое уравнение: 3(x – 1) + 4x = 5х. Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены: 3х – 3 + 4х = 5х 3х + 4х – 5х = 3 Пример решен. Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение x – 3 1 x + 5 Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак: х 2 – 3х x – 5 x + 5 Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение: х 2 – 3x + x – 5 = x + 5 х 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0 х 2 – 3x – 10 = 0. Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5. Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения. При x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения. При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения. Ответ: x = –2 Ещё примеры Пример 1. x 1 =6, x 2 = - 2,2. Ответ:-2,2;6. Пример 2. |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги