Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Тригонометрия sin. Тригонометрия |
Свойства косинуса
Свойства тангенса
Свойства котангенса
На рисунке ниже представлены несколько единичных окружностей, в которых указаны знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в различных координатных четвертях. Я не буду убеждать вас не писать шпаргалки. Пишите! В том числе, и шпаргалки по тригонометрии. Позже я планирую объяснить, зачем нужны шпаргалки и чем шпаргалки полезны. А здесь — информация, как не учить, но запомнить некоторые тригонометрические формулы. Итак — тригонометрия без шпаргалки!Используем ассоциации для запоминания. 1. Формулы сложения: косинусы всегда «ходят парами»: косинус-косинус, синус-синус.
И еще: косинусы — «неадекватны». Им «все не так», поэтому они знаки меняют: «-» на «+», и наоборот. Синусы — «смешиваются»
: синус-косинус, косинус-синус.
2. Формулы суммы и разности: косинусы всегда «ходят парами». Сложив два косинуса — «колобка», получаем пару косинусов- «колобков». А вычитая, колобков точно не получим. Получаем пару синусов. Еще и с минусом впереди. Синусы — «смешиваются» : 3. Формулы преобразования произведения в сумму и разность. Когда мы получаем пару косинусов? Когда складываем косинусы. Поэтому Когда мы получаем пару синусов? При вычитании косинусов. Отсюда: «Смешение» получаем как при сложении, так и при вычитании синусов. Что приятнее: складывать или вычитать? Правильно, складывать. И для формулы берут сложение: В первой и в третьей формуле в скобках — сумма. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Принципиален порядок только для второй формулы. Но, чтобы не путаться, для простоты запоминания мы во всех трех формулах в первых скобках берем разность а во вторых — сумму Шпаргалки в кармане дают спокойствие: если забыл формулу, можно списать. А дают уверенность: если воспользоваться шпаргалкой не удастся, формулы можно легко вспомнить. Где были рассмотрены задачи на решение прямоугольного треугольника, я пообещал изложить приём запоминания определений синуса и косинуса. Используя его, вы всегда быстро вспомните – какой катет относится к гипотенузе (прилежащий или противолежащий). Решил в «долгий ящик не откладывать», необходимый материал ниже, прошу ознакомиться 😉 Дело в том, что я не раз наблюдал, как учащиеся 10-11 классов с трудом вспоминают данные определения. Они прекрасно помнят, что катет относится к гипотенузе, а вот какой из них - забывают и путают. Цена ошибки, как вы знаете на экзамене – это потерянный бал. Информация, которую я представлю непосредственно к математике не имеет никакого отношения. Она связана с образным мышлением, и с приёмами словесно-логической связи. Именно так, я сам, раз и на всегда запомнил данные определения. Если вы их всё же забудете, то при помощи представленных приёмов всегда легко вспомните. Напомню определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике:
Итак, какие ассоциации у вас вызывает слово косинус? Наверное, у каждого свои 😉 Запоминайте связку: Таким образом, у вас сразу в памяти возникнет выражение – «… отношение ПРИЛЕЖАЩЕГО катета к гипотенузе ». Проблема с определением косинуса решена. Если нужно вспомнить определение синуса в прямоугольном треугольнике, то вспомнив определение косинуса, вы без труда установите, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Ведь катетов всего два, если прилежащий катет «занят» косинусом, то синусу остаётся только противолежащий. Как быть с тангенсом и котангенсом? Путаница та же. Учащиеся знают, что это отношение катетов, но проблема вспомнить какой к которому относится – то ли противолежащий к прилежащему, то ли наоборот. Определения:
Как запомнить? Есть два способа. Один так же использует словесно-логическую связь, другой – математический. СПОСОБ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ Есть такое определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу: *Запомнив формулу, вы всегда сможете определить, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Аналогично. Котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу: Итак! Запомнив указанные формулы вы всегда сможете определить, что: — тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему — котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к противолежащему. СПОСОБ СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКИЙ О тангенсе. Запомните связку: То есть если потребуется вспомнить определение тангенса, при помощи данной логической связи, вы без труда вспомните, что это «… отношение противолежащего катета к прилежащему» Если речь зайдёт о котангенсе, то вспомнив определение тангенса вы без труда озвучите определение котангенса – «… отношение прилежащего катета к противолежащему» Есть интересный приём по запоминанию тангенса и котангенса на сайте " Математический тандем " , посмотрите. СПОСОБ УНИВЕРСАЛЬНЫЙ Можно просто зазубрить. Но как показывает практика, благодаря словесно-логическим связкам человек запоминает информацию надолго, и не только математическую. Надеюсь, материал был вам полезен. С уважением, Александр Крутицких P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях. Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника. \sin \alpha = \frac{a}{c} Косинус острого угла прямоугольного треугольникаОтношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника. \cos \alpha = \frac{b}{c} Тангенс острого угла прямоугольного треугольникаОтношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника. tg \alpha = \frac{a}{b} Котангенс острого угла прямоугольного треугольникаОтношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника. ctg \alpha = \frac{b}{a} Синус произвольного углаОрдината точки на единичной окружности , которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha . \sin \alpha=y Косинус произвольного углаАбсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha . \cos \alpha=x Тангенс произвольного углаОтношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha . tg \alpha = y_{A} tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} Котангенс произвольного углаОтношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha . ctg \alpha =x_{A} ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} Пример нахождения произвольного углаЕсли \alpha — некоторый угол AOM , где M — точка единичной окружности, то \sin \alpha=y_{M} , \cos \alpha=x_{M} , tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}} , ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}} . Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4} , то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2} , абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому \sin \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \cos \left (\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} ; tg ; ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-1 . Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсовЗначения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:
Изначально синус и косинус возникли из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было замечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается всегда одинаковым. Именно так и были введены понятия синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе. Теоремы косинусов и синусовНо косинусы и синусы могут применяться не только в прямоугольных треугольниках. Чтобы найти значение тупого или острого угла, стороны любого треугольника, достаточно применить теорему косинусов и синусов. Теорема косинусов довольно проста: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними». Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему часто расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности». ПроизводныеПроизводная - математический инструмент, показывающий, как быстро меняется функция относительно изменения ее аргумента. Производные используются , геометрии, и , ряде технических дисциплин. При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса - синус, но со знаком «минус». Применение в математикеОсобенно часто синусы и косинусы используются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними. Удобство синусов и косинусов нашло свое отражение и в технике. Углы и стороны было просто оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая сложные фигуры и объекты на «простые» треугольники. Инженеры и , часто имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили немало времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов. Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов разных углов. В советское время некоторые преподаватели заставляли своих подопечных страницы таблиц Брадиса наизусть. Радиан - угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов. Градус (в геометрии) - 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла. π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи). Таблица косинусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
|
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги