Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Параллелограмм все стороны равны. Теоремы параллелограмма |
Тема урока
Цели урока
Задачи урока
План урока
Введение«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».
Свойство противолежащих сторон параллелограммаУ параллелограмма противолежащие стороны равны. Доказательство. Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O. Свойство противолежащих углов параллелограммаУ параллелограмма противолежащие углы равны. Доказательство. Свойство диагоналей параллелограммаДиагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Доказательство. Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB 1 , равный DO. В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказывается она так: диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника. Рассмотрим одну пару и выясним - они равны: основания у них - противоположные стороны, прилежащие к нему соответствующие углы равны как вертикальные при параллельных прямых. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Всё. Всё ли? Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Следует это, кстати, из более общего результата: у любого выпуклого четырёхугольника диагонали будут пересекаться, у любого невыпуклого - не будут. О равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) и другие. Теореме о равенстве двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам Фалес нашел важное практическое применение. В гавани Милета был построен дальномер, определяющий расстояние до корабля в море. Он представлял собой три вбитых колышка А, В и С (АВ = ВС) и размеченную прямую СК, перпендикулярную.СА. При появлении корабля на прямой СК находили точку D такую, чтобы точки D, .В и Е оказывались на одной прямой. Как ясно из чертежа, расстояние CD на земле является искомым расстоянием до корабля. Вопросы
Список использованных источников
Над уроком работали Кузнецов А. В. Потурнак С.А. Евгений Петров Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме
, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог,
Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования
открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ. Важные замечания! 1. ПараллелограммСложное слово «параллелограмм »? А скрывается за ним очень простая фигура. Ну, то есть, взяли две параллельные прямые: Пересекли ещё двумя: И вот внутри - параллелограмм ! Какие же есть свойства у параллелограмма? Свойства параллелограмма.То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм ? На этот вопрос отвечает следующая теорема: Давай нарисуем все подробно. Что означает первый пункт теоремы ? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм , то, опять же, непременно : Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно: Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди - какой-нибудь «ключик» да подойдёт. А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма? На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма. Признаки параллелограмма.Внимание! Начинаем. Паралелограмм. Обрати внимание : если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма. 2. ПрямоугольникДумаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом? Конечно, является! Ведь у него и - помнишь, наш признак 3 ? А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма и, а диагонали точкой пересечения делятся пополам. Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство. Свойство прямоугольникаПочему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко. Обрати внимание : чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей. 3. РомбИ снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет? С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ). И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам. Свойства ромбаПосмотри на картинку: Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб. Признаки ромбаИ снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись: Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб . То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится. Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по. Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬСвойства четырехугольников. ПараллелограммСвойства параллелограммаВнимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться. Теорема о свойствах параллелограмма.В любом параллелограмме: Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему. Итак, почему верно 1)? Раз - параллелограмм, то:
Значит, (по II признаку: и - общая.) Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали. Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)! Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что. Осталось только 3). Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ. И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними). Свойства доказали! Перейдём к признакам. Признаки параллелограммаНапомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом. В значках это так: Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри: Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен. Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ. А значит: И тоже несложно. Но …по-другому! Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей! Поэтому тот факт, что означает, что. А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому. Видишь, как здорово?! И опять просто: Точно так же, и. Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма. Для полной ясности посмотри на схему: Свойства четырехугольников. Прямоугольник.Свойства прямоугольника:Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 () А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что А значит, по двум катетам (и - общий). Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны. Доказали, что! И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^ Давай поймём, почему? Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому. Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать! Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник . Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм! Свойства четырехугольников. РомбИ снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет? С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2). И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам. Но есть и особенные свойства. Формулируем. Свойства ромбаПочему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам. Почему? Да, потому же! Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба. Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба. Признаки ромба.А это почему? А посмотри, Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные. Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2. Свойства четырехугольников. КвадратТо есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится. Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по. Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам. Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫСвойства параллелограмма:
Свойства прямоугольника:
Свойства ромба:
Свойства квадрата: Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же: Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут. Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%! Теперь самое главное. Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить… Для чего? Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика. Но и это - не главное. Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю... Но, думай сам... Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым? НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ. На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время . И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка. Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай! Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем. Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь. Как? Есть два варианта:
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу. Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта. И в заключение... Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории. “Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба. Найди задачи и решай! На сегодняшнем уроке мы повторим основные свойства параллелограмма, а затем уделим внимание рассмотрению первых двух признаков параллелограмма и докажем их. В ходе доказательства вспомним применение признаков равенства треугольников, которые мы изучали в прошлом году и повторяли на первом уроке. В конце будет приведен пример на применение изученных признаков параллелограмма. Тема: Четырехугольники Урок: Признаки параллелограмма Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма. Определение. Параллелограмм - четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1). Рис. 1. Параллелограмм Вспомним основные свойства параллелограмма : Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, - параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим. Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм . . Рис. 2. Первый признак параллелограмма Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках: по первому признаку равенства треугольников. Из равенства указанных треугольников следует, что по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что:
Доказано. Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм . . Рис. 3. Второй признак параллелограмма Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы: по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что и по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем: параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать. Доказано. Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма. Пример 1. В выпуклом четырехугольнике Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону . Решение. Изобразим Рис. 4. Рис. 4 параллелограмм по первому признаку параллелограмма. Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых Свойства параллелограмма: Признаки параллелограмма В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма. 1. Определение параллелограмма. Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD; ЕF || МN и ЕМ || FN. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. 2. Свойства параллелограмма. Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Пусть имеется параллелограмм ABDС (рис. 225), в котором AB || СD и АС || ВD. Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника. Проведём в параллелограмме ABDС диагональ СВ. Докажем, что \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ. Сторона СВ общая для этих треугольников; ∠ABC = ∠BCD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AB и СD и секущей СВ; ∠ACB = ∠СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB. Отсюда \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ. Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и ABD. Следствия: 1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой. ∠А = ∠D, это следует из равенства треугольников CAB и СDВ. Аналогично и ∠С = ∠В. 2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой. AB = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов. Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам. Пусть BC и AD - диагонали параллелограмма AВDС (рис. 226). Докажем, что АО = OD и СО = OB. Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например \(\Delta\)AOB и \(\Delta\)СОD. В этих треугольниках AB = СD, как противоположные стороны параллелограмма; ∠1 = ∠2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и СD и секущей AD; ∠3 = ∠4 по той же причине, так как AB || СD и СВ - их секущая. Отсюда следует, что \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = OB. Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180° . В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC.
Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых. |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги