Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения. Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения |
Существует целая группа заданий (входящих в экзаменационные типы задач), связанная с координатной плоскостью. Это задачи начиная с самых элементарных, которые решаются устно (определение ординаты или абсциссы заданной точки, либо точки симметричной заданной и другие), заканчивая задачами в которых требуется качественное знание, понимание и хорошие навыки (задачи связанные с угловым коэффициентом прямой). Постепенно мы с вами рассмотрим все их. В этой статье начнём с элементарных. Это простые задачи на определение: абсциссы и ординаты точки, длинны отрезка, середины отрезка, синуса или косинуса угла наклона прямой. Большинству эти задания будут не интересны. Но изложить их считаю необходимым. Дело в том, что не все учатся в школе. Очень многие сдают ЕГЭ спустя 3-4 и более лет после её окончания и что такое абсцисса и ордината помнят смутно. Будем разбирать и другие задачи, связанные с координатной плоскостью, не пропустите, подпишитесь, на обновление блога. Теперь н емного теории. Построим на координатной плоскости точку А с координатами х= 6, y=3. Говорят, что абсцисса точки А равна шести, ордината точки А равна трём. Если выразиться просто, то ось ох это ось абсцисс, ось оу это ость ординат. То есть, абсцисса это точка на оси ох в которую проецируется точка заданная на координатной плоскости; ордината это точка на оси оу в которую проецируется оговоренная точка. Длина отрезка на координатной плоскости Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов: Как вы видите, длина отрезка — это длина гипотенузы в прямоугольными треугольнике с катетами равными Х В – Х А и У В – У А * * * Середина отрезка. Её Координаты. Формула для нахождения координат середины отрезка: Уравнение прямой проходящей через две данные точки Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид: где (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ) координаты заданных точек. Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду: y = kx + b , где k — это угловой коэффициент прямой Эта информация нам понадобиться при решении другой группы задач связанных с координатной плоскостью. Статья об этом будет, не пропустите! Что ещё можно добавить? Угол наклона прямой (или отрезка) это угол между осью оХ и этой прямой, лежит в пределах от 0 до 180 градусов. Рассмотрим задачи. Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось ординат. Найдите ординату основания перпендикуляра. Основание перпендикуляра опущенного на ось ординат будет иметь координаты (0;8). Ордината равна восьми. Ответ: 8 Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси ординат. Расстояние от точки А до оси ординат равно абсциссе точки А. Ответ: 6. A (6;8) относительно оси Ox . Точка симметричная точке А относительно оси оХ имеет координаты (6;– 8). Ордината равна минус восьми. Ответ: – 8 Найдите ординату точки, симметричной точке A (6;8) относительно начала координат. Точка симметричная точке А относительно начала координат имеет координаты (– 6;– 8). Её ордината равна – 8. Ответ: –8 Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8). Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (0;0) и (6;8). Вычисляем по формуле: Получили (3;4). Абсцисса равна трём. Ответ: 3 *Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку. Середину отрезка несложно будет определить по клеткам. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (–2;2). Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (–2;2) и (6;8). Вычисляем по формуле: Получили (2;5). Абсцисса равна двум. Ответ: 2 *Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку. Найдите длину отрезка, соединяющего точки (0;0) и (6;8). Длина отрезка при данных координатах его концов вычисляется по формуле: в нашем случае имеем О(0;0) и А(6;8). Значит, *Порядок координат при вычитании не имеет значения. Можно из абсциссы и ординаты точки О вычесть абсциссу и ординату точки А: Ответ:10 Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс. Угол наклона отрезка – это угол между этим отрезком и осью оХ. Из точки А опустим перпендикуляр на ось оХ: То есть, угол наклона отрезка это угол ВОА в прямоугольном треугольнике АВО. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике является отношение прилежащего катета к гипотенузе Необходимо найти гипотенузу ОА.
Таким образом, косинус угла наклона равен 0,6 Ответ: 0,6 Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра. Через точку (6;8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью оУ . Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси абсцисс. Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до начала координат. Определить длину отрезка возможно разными способами. Для того чтобы узнать, как найти длину отрезка, достаточно иметь в наличии линейку или знать специальные формулы для расчета. Длина отрезка с помощью линейкиДля этого прикладываем к построенному на плоскости отрезку линейку с миллиметровыми делениями, причем начальную точку необходимо совместить с нулем шкалы линейки. Затем следует отметить на данной шкале расположение конечной точки данного отрезка. Полученное количество целых делений шкалы и будет являться длиной отрезка, выраженной в см. и мм. Метод координат на плоскостиЕсли известны координаты отрезка (х1;у1) и (х2;у2), то следует рассчитать его длину следующим образом. Из координат на плоскости второй точки следует вычесть координаты первой точки. В итоге должно получиться два числа. Каждое из таких чисел необходимо возвести в квадрат, а потом найти сумму этих квадратов. Из полученного числа следует извлечь квадратный корень, который будет являться расстоянием между точками. Поскольку данные точки являются концами отрезка, то данное значение и будет его длиной. Рассмотрим пример, как найти длину отрезка по координатам. Есть координаты двух точек (-1;2) и (4;7). При нахождении разности координат точек получаем следующие значения: х = 5, у =5. Полученные числа и будут являться координатами отрезка. Затем каждое число возводим в квадрат и находим сумму результатов, она равна 50. Из этого числа извлекаем квадратный корень. Результат таков: 5 корней из 2. Это длина отрезка. Метод координат в пространствеДля этого необходимо рассмотреть, как найти длину вектора. Именно он и будет являться отрезком в евклидовом пространстве. Находится он почти таким же образом, как длина отрезка на плоскости. Построение вектора происходит в разных плоскостях . Как найти длину вектора?
Рассмотрим алгоритм вычисления на примере. Необходимо найти координаты вектора АВ. Точки А и В имеют следующие координаты: А (1;6;3) и В (3;-1;7). Начало вектора лежит в точке А, конец расположен в точке В. Таким образом, чтобы найти его координаты, необходимо вычесть координаты точки А из координат точки В: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;-7;4). Теперь возводим каждую координату в квадрат и складываем их: 4+49+16=69. И наконец, извлекает квадратный корень из данного числа. Его трудно извлечь, поэтому результат записываем таким образом: длина вектора равна корню из 69. Если же вам не важно самому высчитывать длину отрезков и векторов, а нужен просто результат, то вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором, например, этим . Теперь, изучив данные способы и рассмотрев представленные примеры, вы без проблем сможете найти длину отрезка в любой задаче. В этой статье мы поговорим о нахождении координат середины отрезка по координатам его концов. Сначала мы дадим необходимые понятия, далее получим формулы для нахождения координат середины отрезка, в заключении рассмотрим решения характерных примеров и задач. Навигация по странице. Понятие середины отрезка.Для того, чтобы ввести понятие середины отрезка, нам потребуются определения отрезка и его длины. Понятие отрезка дается на уроках математики в пятом классе средней школы следующим образом: если взять две произвольных несовпадающих точки А и В , приложить к ним линейку и провести от А к В (или от В к А ) линию, то мы получим отрезок АВ (или отрезок В А). Точки А и В называются концами отрезка . Следуем иметь в виду, что отрезок АВ и отрезок ВА есть один и тот же отрезок. Если отрезок АВ бесконечно продолжить в обе стороны от концов, то мы получим прямую АВ (или прямую ВА ). Отрезок АВ представляет собой часть прямой АВ , заключенную между точками А и В . Таким образом, отрезок АВ – это объединение точек А , В и множества всех точек прямой АВ , находящихся между точками А и В . Если взять произвольную точку М прямой АВ , находящуюся между точками А и В , то говорят, что точка М лежит на отрезке АВ . Длиной отрезка АВ называется расстояние между точками А и В при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка АВ будем обозначать как . Определение. Точка С называется серединой отрезка АВ , если она лежит на отрезке АВ и находится на одинаковом расстоянии от его концов. То есть, если точка С является серединой отрезка АВ , то она лежит на нем и . Далее нашей задачей будет нахождение координат середины отрезка АВ , если заданы координаты точек А и В на координатной прямой или в прямоугольной системе координат . Координата середины отрезка на координатной прямой.Пусть нам задана координатная прямая Ох и две несовпадающих точки А и В на ней, которым соответствуют действительные числа и . Пусть точка С – середина отрезка АВ . Найдем координату точки С . Так как точка С – середина отрезка АВ , то справедливо равенство . В разделе расстояние от точки до точки на координатной прямой мы показали, что расстояние между точками равно модулю разности их координат, следовательно, . Тогда или . Из равенства находим координату середины отрезка АВ на координатной прямой: - она равна полусумме координат концов отрезка. Из второго равенства получаем , что невозможно, так как мы брали несовпадающие точки А и В . Итак, формула для нахождения координаты середины отрезка АВ с концами и имеет вид . Координаты середины отрезка на плоскости.Введем прямоугольную декартову систему координат Оxyz на плоскости. Пусть нам даны две точки и и известно, что точка С – середина отрезка АВ . Найдем координаты и точки С . По построению прямые параллельны, а также параллельны прямые , поэтому, по теореме Фалеса из равенства отрезков АС и СВ следует равенство отрезков и , а так же отрезков и . Следовательно, точка - середина отрезка , а - середина отрезка . Тогда в силу предыдущего пункта этой статьи и . По этим формулам можно вычислять координаты середины отрезка АВ и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Оставим эти случаи без комментариев, а приведем графические иллюстрации. Таким образом, середина отрезка АВ на плоскости с концами в точках и имеет координаты . Координаты середины отрезка в пространстве.Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и заданы две точки и . Получим формулы для нахождения координат точки С , которая является серединой отрезка АВ . Рассмотрим общий случай. Пусть и - проекции точек А , В и С на координатные оси Оx , Оу и Oz соответственно. По теореме Фалеса , следовательно, точки есть середины отрезков соответственно. Тогда (смотрите первый пункт этой статьи). Так мы получили формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов в пространстве . Эти формулы можно применять и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, а также если точки А и В лежат в одной из координатных плоскостей или в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Координаты середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов.Формулы для нахождения координат середины отрезка легко получить, обратившись к алгебре векторов. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy и точка С – середина отрезка АВ , причем и . По геометрическому определению операций над векторами справедливо равенство (точка С является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , то есть, точка С – середина диагонали параллелограмма). В статье координаты вектора в прямоугольной системе координат мы выяснили, что координаты радиус-вектора точки равны координатам этой точки, следовательно, . Тогда, выполнив соответствующие операции над векторами в координатах , имеем . Откуда можно сделать вывод, что точка С имеет координаты . Абсолютно аналогично могут быть найдены координаты середины отрезка АВ через координаты его концов в пространстве. В этом случае, если С – середина отрезка АВ и , то имеем . Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения.Во многих задачах приходится использовать формулы для нахождения координат середины отрезка. Рассмотрим решения наиболее характерных примеров. Начнем с примера, в котором лишь требуется применить формулу. Пример. На плоскости заданы координаты двух точек . Найдите координаты середины отрезка АВ . Решение. Пусть точка С
– середина отрезка АВ
. Ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек А
и В
: Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты . Отрезком называют часть прямой линии, состоящей из всех точек этой линии, которые расположены между данными двумя точками — их называют концами отрезка. Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора. Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции. Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1 , а на ось Х длина проекции равна x2-x1 . Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . В данном случае |AB| является длиной отрезка. Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5) . Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2 . Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат. Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат. Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 . Рассчитаем длину отрезка А , для этого найдем квадратный корень: A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) . Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1 , то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 . Если вы хорошо заточенным карандашом прикоснетесь к тетрадному листу, то останется след, который дает представление о точке. (рис. 3 ). Отметим на листе бумаги две точки A и B. Эти точки можно соединить различными линиями (рис. 4 ). А как соединить точки A и B самой короткой линией? Это можно сделать с помощь линейки (рис. 5 ). Полученную линию называют отрезком . Точка и отрезок − примеры геометрических фигур . Точки A и B называют концами отрезка . Существует единственный отрезок, концами которого являются точки A и B. Поэтому отрезок обозначают, записывая точки, которые являются его концами. Например, отрезок на рисунке 5 обозначают одним из двух способов: AB или BA. Читают: "отрезок AB" или "отрезок BA". На рисунке 6 изображены три отрезка. Длина отрезка AB равна 1 см. Он помещается в отрезке MN ровно три раза, а в отрезке EF − ровно 4 раза. Будем говорить, что длина отрезка MN равна 3 см, а длина отрезка EF − 4 см. Также принято говорить: "отрезок MN равен 3 см", "отрезок EF равен 4 см". Пишут: MN = 3 см, EF = 4 см. Длины отрезков MN и EF мы измерили единичным отрезком , длина которого равна 1 см. Для измерения отрезков можно выбрать и другие единицы длины , например: 1 мм, 1 дм, 1 км. На рисунке 7 длина отрезка равна 17 мм. Он измерен единичным отрезком, длина которого равна 1 мм, с помощью линейки с делениями. Также с помощью линейки можно построить (начертить) отрезок заданной длины (см. рис. 7 ). Вообще, измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается . Длина отрезка обладает следующим свойством. Если на отрезке AB отметить точку C, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB (рис. 8 ). Пишут: AB = AC + CB. На рисунке 9 изображены два отрезка AB и CD. Эти отрезки при наложении совпадут. Два отрезка называют равными, если они совпадут при наложении. Следовательно отрезки AB и CD равны. Пишут: AB = CD. Равные отрезки имеют равные длины. Из двух неравных отрезков бОльшим будем считать тот, у уоторого длина больше. Например, на рисунке 6 отрезок EF больше отрезка MN. Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B. Если несколько отрезков расположить так, как показано на рисунке 10, то получится геометрическая фигура, которую называют ломаная . Заметим, что все отрезки на рисунке 11 ломаную не образуют. Считают, что отрезки, образуют ломаную, если конец первого отрезка совпадает с концом второго, а другой конец второго отрезка − с концом третьего и т. д. Точки A, B, C, D, E − вершины ломаной ABCDE, точки A и E − концы ломаной , а отрезки AB, BC, CD, DE − ее звенья (см. рис. 10 ). Длиной ломаной называют сумму длин всех ее звеньев. На рисунке 12 изображены две ломаные, концы которых совпадают. Такие ломаные называют замкнутыми . Пример 1 . Отрезок BC на 3 см меньше отрезка AB, длина которого равна 8 см (рис. 13 ). Найдите длину отрезка AC. Решение. Имеем: BC = 8 − 3 = 5 (см). Воспользовавшись свойством длины отрезка, можно записать AC = AB + BC. Отсюда AC = 8 + 5 = 13 (см). Ответ: 13 см. Пример 2 . Известно, что MK = 24 см, NP = 32 см, MP = 50 см (рис. 14 ). Найдите длину отрезка NK. Решение. Имеем: MN = MP − NP. Отсюда MN = 50 − 32 = 18 (см). Имеем: NK = MK − MN. Отсюда NK = 24 − 18 = 6 (см). Ответ: 6 см. |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги