Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Трапеция окружность средняя линия высота. Прямоугольная и равнобедренная трапеция: свойства и признаки |
В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции. Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал. Трапеция и все-все-всеДля начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны. Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны. В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису. Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим. Свойства диагоналей трапецииЧтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.
Свойства средней линии трапецииСреднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.
Свойство биссектрисы трапецииВыберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона. Свойства углов трапеции
Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
Свойства трапеции, вписанной в окружностьРаз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.
Свойства трапеции, описанной около окружностиВписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.
Свойства прямоугольной трапецииПрямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.
Доказательства некоторых свойств трапецииРавенство углов при основании равнобедренной трапеции:
Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ. АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ. Откуда АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЕ = КМЕ. Что и требовалось доказать. Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :
∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА. МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ. У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная. Задача для повторенияОснования трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции. Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции. Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции). Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см. Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 . ПослесловиеЕсли вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться. Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна. Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями! blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции. Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал. Трапеция и все-все-всеДля начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны. Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны. В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису. Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим. Свойства диагоналей трапецииЧтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.
Свойства средней линии трапецииСреднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.
Свойство биссектрисы трапецииВыберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона. Свойства углов трапеции
Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
Свойства трапеции, вписанной в окружностьРаз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.
Свойства трапеции, описанной около окружностиВписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.
Свойства прямоугольной трапецииПрямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.
Доказательства некоторых свойств трапецииРавенство углов при основании равнобедренной трапеции:
Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ. АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ. Откуда АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЕ = КМЕ. Что и требовалось доказать. Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :
∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА. МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ. У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная. Задача для повторенияОснования трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции. Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции. Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции). Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см. Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 . ПослесловиеЕсли вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться. Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна. Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями! сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи - пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен. Трапеция. Определение, формулы и свойстваТрапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον - «столик»; τράπεζα - «стол, еда») - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.Трапеция - четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна. Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами. Трапеции бывают: - разносторонние ; - равнобокие ; - прямоугольные .Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим - основания трапеции. A - равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны. У боковые стороны равны, а основания параллельны. У основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона - наклонная к основаниям. Свойства трапеции
Углы трапецииУглы трапеции бывают острые, прямые и тупые .Прямыми бывают только два угла. У прямоугольной трапеции два угла прямые , а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых. Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию. Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник
, у которого линия сечения параллельна основанию треугольника. Как найти стороны и диагонали трапецииНахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже: В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке. a - меньшее из оснований трапеции Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2) Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926. Какую теорию необходимо помнить? Это: Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь . 27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции. Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть: Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести. 27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему? Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника: В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести. *Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6. 27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции. Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами: Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти. В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF: В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE: Таким образом EF=FO+OE=4+3=7. Теперь важный нюанс! В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так. А если бы в условии не было дано эскиза? Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями: *То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции. И решение будет «второго варианта» будет следующим. По теореме Пифагора вычисляем OF: Также вычислим OE: Таким образом EF=FO–OE=4–3=1. Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании. 27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию. Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:
В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются задачи на трапецию , решение которых требует знания ее свойств. Выясним, какими же интересными и полезными для решения задач свойствами обладает трапеция. После изучения свойства средней линии трапеции можно сформулировать и доказать свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции . Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований. MO – средняя линия треугольника ABC и равна 1/2ВС (рис. 1). MQ – средняя линия треугольника ABD и равна 1/2АD. Тогда OQ = MQ – MO, следовательно, OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC). При решении многих задач на трапецию одним из основных приемов является проведение в ней двух высот. Рассмотрим следующую задачу . Пусть BT – высота равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD, причем BC = a, AD = b. Найти длины отрезков AT и TD. Решение. Решение задачи не вызывает затруднения (рис. 2) , но оно позволяет получить свойство высоты равнобедренной трапеции, проведенной из вершины тупого угла : высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований. При изучении свойств трапеции нужно обратить внимание на такое свойство, как подобие. Так, например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями . Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Докажем вторую часть утверждения. Треугольники BOC и COD имеют общую высоту (рис. 3) , если принять за их основания отрезки BO и OD. Тогда S BOC /S COD = BO/OD = k. Следовательно, S COD = 1/k · S BOC . Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA. Тогда S BOC /S AOB = CO/OA = k и S А O В = 1/k · S BOC . Из этих двух предложений следует, что S COD = S А O В. Не будем останавливаться на сформулированном утверждении, а найдем связь между площадями треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями . Для этого решим следующую задачу. Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции АBCD с основаниями BC и AD. Известно, что площади треугольников BOC и AOD равны соответственно S 1 и S 2 . Найти площадь трапеции. Так как S COD = S А O В, то S АВС D = S 1 + S 2 + 2S COD . Из подобия треугольников BОC и AOD следует, что ВО/OD = √(S₁/S 2). Следовательно, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), а значит S COD = √(S 1 · S 2). Тогда S АВС D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2 . С использованием подобия доказывается и свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям . Рассмотрим задачу : Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD. BC = a, AD = b. Найти длину отрезка PK, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О (рис. 4)? Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что АO/OС = AD/BC = b/a. Из подобия треугольников AOР и ACB следует, что АO/AС = PO/BC = b/(a + b). Отсюда PO = BC · b / (a + b) = ab/(a + b). Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBC, следует, что OK = ab/(a + b). Отсюда PO = OK и PK = 2ab/(a + b). Итак, доказанное свойство можно сформулировать так: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции. Следующее свойство четырех точек : в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии. Треугольники BSC и ASD подобны (рис. 5) и в каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки S, T и G лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой расположены точки T, O и G. Это следует из подобия треугольников BOC и AOD. Значит, все четыре точки S, T, O и G лежат на одной прямой. Так же можно найти длину отрезка разбивающего трапецию на две подобных. Если трапеции ALFD и LBCF подобны (рис. 6), то a/LF = LF/b. Отсюда LF = √(ab). Таким образом, отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований
. Докажем свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие . Пусть площадь трапеции равна S (рис. 7). h 1 и h 2 – части высоты, а х – длина искомого отрезка. Тогда S/2 = h 1 · (a + x)/2 = h 2 · (b + x)/2 и S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2. Составим систему {h 1 · (a + x) = h 2 · (b + x) Решая данную систему, получим х = √(1/2(а 2 + b 2)). Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна√((а 2 + b 2)/2) (среднему квадратичному длин оснований). Итак, для трапеции ABCD с основаниями AD и BC (BC = a, AD = b) доказали, что отрезок: 1) MN, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме (среднему арифметическому чисел a и b); 2) PK, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, равен 3) LF, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому чисел a и b, √(ab); 4) EH, делящий трапецию на две равновеликие, имеет длину √((а 2 + b 2)/2) (среднее квадратичное чисел a и b). Признак и свойство вписанной и описанной трапеции. Свойство вписанной трапеции: трапеция может быть вписана в окружность в том и только в том случае, когда она равнобедренная. Свойства описанной трапеции. Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Полезные следствия того, что в трапецию вписана окружность: 1. Высота описанной трапеции равна двум радиусам вписанной окружности. 2. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом. Первое очевидно. Для доказательства второго следствия необходимо установить, что угол COD прямой, что так же не составляет большого труда. Зато знание этого следствия позволяет при решении задач использовать прямоугольный треугольник. Конкретизируем следствия для равнобедренной описанной трапеции : Высота равнобедренной описанной трапеции есть среднее геометрическое оснований трапеции Рассмотренные свойства позволят более глубоко познать трапецию и обеспечат успешность в решении задач на применение ее свойств. Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на трапецию? blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги